Model Autoregressive dan Moving Average (ARMA) (Metode Box-Jenkins)
1.Pengertian dan Pemanfaatan Model ARMA ARMA merupakan bentuk model time series yang berusaha untuk mengidentifikasikan persamaan regresinya dengan hanya menggunakan nilai masa lalunya atau kombinasi nilai masa lalu dan residual masa lalunya.ARMA adalah gabungan dari model AR (Autoregressive) dan model MA (Moving Average). Model ARMA sering digunakan untuk melakukan forecasting (peramalan). 2.Tahapan dalam Metode ARMA (Box-Jenkins) 2.1 Identifikasi Model (Identification) a. Melakukan uji stasioneritas Syarat penerapan model ARMA adalah bahwa data yang digunakan harus stasioner atau memiliki derajat intergrasi = 0. Uji stasioneritas bisa dilakukan dengan menggunakan metode grafik, correlogram, ataupun unit root test. Metode yang paling sering digunakan adalah dengan melihat correlogram dari autocorrelation function. b. Penentuan ordo ARMA Ordo ARMA biasa dianyatakan dalam bentuk berikut: ARMA (p,q), dimana p adalah ordo autoregresif dan q adalah ordo moving average. Persamaan ARIMA dengan d = 0 (derajat integrasi pada level) adalah model ARMA. Model ARMA secara garis besar disusun atas dua model time series standar, model autoregressive (AR) dan model moving average (MA). Model AR(p) Secara umum model autoregressive akan berbentuk seperti berikut:
EMBED Equation.3 ...(1)
Dari persamaan diatas secara sederhana dapat dilihat, bahwa model AR merupakan sebuah persamaan regresi yang hanya dibentuk dari nilai masa lalu variabel dependennya saja. Model MA(q) Secara umum model moving average akan berbentuk seperti berikut:
EMBED Equation.3 ...(2) Dari persamaan diatas secara sederhana dapat dilihat, bahwa model MA merupakan bentuk perluasan residual persamaan regresi yang hanya dipengaruhi oleh nilai masa lalu residualnya saja. Model ARMA (p,q) Dengan integrasi data pada level, maka model ARMA akan berbentuk seperti berikut:
EMBED Equation.3 ...(3) Sesuai dengan definisinya, model ARMA atau ARIMA dengan I = 0, merupakan sebuah model yang persamaan regresinya dibentuk dari sekumpulan informasi nilai masa lalu dan nilai masa lalu residualnya. 2.2 Estimasi Model (Estimation) Setelah melewati uji stasioneritas, maka tahapan berikutnya adalah penentuan ordo AR (p) dan ordo MA (q). Ordo maksimum AR didapatkan dari grafik batang Partial Autocorrelation yang melewati batas. Sedangkan ordo maksimum MA didapatkan dari grafik batang Autocorellation yang melewati batas. Setelah mendapatkan ordo maksimum AR dan MA kita mendapatkan beberapa kemungkinan atau alternatif model. Misalkan jika ordo maksimum AR adalah 2 dan ordo maksimum MA adalah 2, maka alternatif model yang dapat diestimasi adalah : Model ARMA (1,1) Model ARMA (1,2)
Model ARMA (2,1)
Model ARMA (2,2)
2.3 Menentukan Model ARMA yang terbaik (Diagnostic Checking) Model ARMA terbaik, adalah model ARIMA yang memiliki: 1. Signifikansi t-stat untuk seluruh suku AR dan MA dalam persamaan. Probabilita t-stat dari setiap koefisien lebih kecil dari 0.1 (asumsi EMBED Equation.3 =10%). 2. Nilai inverted root matriks (IRM) suku AR dan MA EMBED Equation.3 3. Nilai residual yang bebas otokorelasi. Yaitu nilai koefisien korelasi EMBED Equation.3 dan EMBED Equation.3 yang lebih kecil dari 0.5; dan probabilita Q-stat seluruh variabel selang yang lebih besar dari 0.1. 4. Memiliki nilai Schwarz Criterion atau Akaike Information Criterion (AIC) terkecil atau juga standard error of regression yang paling kecil Guna memperoleh hasil estimasi yang baik perhatikanlah kriteria berikut: 1. Gunakan data dalam jumlah yang banyak (long series) 2. Gunakan suku MA yang sedikit 3. Jika menggunakan suku AR dan MA, gunakan dalam jumlah sedikit 4. Semakin sedikit suku AR dan MA yang digunakan akan semakin baik
2.4Penggunaan Model ARMA untuk Peramalan (Forecasting) Penggunaan model ARMA untuk peramalan seperti disebutkan sebelumnya amatlah terbatas bagi penggunaan basis jangka pendek saja. Untuk melakukan peramalan 1 basis waktu ke depan (one step forecast), ubahlah terlebih dahulu range data dengan menambah satu basis waktu. Misalkan, untuk membuat model digunakan data tahunan 1950-1970, maka untuk peramalan tahun 1971 ubahlah range data menjadi 1950-1971, tentunya setelah memiliki model ARMA yang terbaik.
Model peramalan terbaik haruslah memiliki nilai Theil inequality coefficient, bias proportion, dan variance proportion yang kecil, setidaknya dibawah 0.2, dengan didukung oleh nilai covariance proportion yang mendekati 1. Selain itu model permalan yang baik memiliki MSE (Mean Squared Error) yang paling kecil. 3.Contoh Aplikasi Model ARMA Misalkan kita memiliki data pertumbuhan ekonomi suatu negara dari tahun 1961-1993. Dengan metode ARMA kita ingin meramalkan pertumbuhan ekonomi negara tersebut untuk tahun 1994. Data bisa dilihat pada file e-views dengan judul ARMA_Telisa Sampel data:
Prosedur pengerjaannya dijelaskan dalam apendiks.
Apendiks Pengujian stasioneritas data: Inspeksi grafis: click kanan pada variabel-open-view- line graph
Dari grafik terlihat kalau data cenderung stasioner. Untuk lebih meyakinkan diperlukan correloram. Pengujian correlogram Click view kembali-correlogramdengan lags to include adalah 16. Dari correlogram tampak bahwa setelah lag 1 grafik batang tetap berada dalam batas. Artinya data tersebut stasioner.Sehingga kita dapat mengunakan model ARMA.
Penentuan ordo AR-MA: Lakukan pengujian correlogram, kembali click view-correlogram-seperti pada prosedur sebelumnya.
Dari grafik batang AC terlihat kalau pelanggaran garis batas terjadi pada lag 1, maka kita memiliki kandidat MA (1). Dari grafik batang PAC, terlihat kalau pelanggaran garis batas juga terjadi pada lag 1, maka diperoleh juga kandidat AR (1). Dengan begitu kita memiliki 3 kandidat bentuk ARMA :
ARMA (0,1)
ARMA (1,0)
ARMA (1,1)
Estimasi Model
ARMA (0,1)
quick-estimate equation-ketikkan: y_growth c MA(1) ok, kemudian name-dan nama persamaan, misalkan MAI-ok.
Dependent Variable: Y_GROWTH
Method: Least Squares
Sample: 1961 1993
Included observations: 33
Convergence achieved after 7 iterations
Backcast: 1960
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
3.797997
MA(1)
7.495045
R-squared
Mean dependent var
Adjusted R-squared
S.D. dependent var
S.E. of regression
Akaike info criterion
-4.184819
Sum squared resid
Schwarz criterion
-4.094122
Log likelihood
71.04952
F-statistic
17.85872
Durbin-Watson stat
2.069910
Prob(F-statistic)
Inverted MA Roots
-.81
ARMA (1,0)
quick-estimate equation-ketikkan: y_growth c AR(1) ok, kemudian name-dan nama persamaan, misalkan ARI-ok.
Dependent Variable: Y_GROWTH
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1962 1993
Included observations: 32 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 3 iterations
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
3.068374
AR(1)
3.204009
R-squared
Mean dependent var
Adjusted R-squared
S.D. dependent var
S.E. of regression
Akaike info criterion
-3.997186
Sum squared resid
Schwarz criterion
-3.905578
Log likelihood
65.95498
F-statistic
10.26567
Durbin-Watson stat
1.774215
Prob(F-statistic)
Inverted AR Roots
.50
ARMA (1,1)
quick-estimate equation-ketikkan: y_growth c AR(1) MA(1)ok, kemudian name-dan nama persamaan, misalkan ARMA-ok. Mel \ bahwa mun Mel \ bahwa m
Dependent Variable: Y_GROWTH
Method: Least Squares
Date: 05/05/06 Time: 12:49
Sample(adjusted): 1962 1993
Included observations: 32 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 22 iterations
Backcast: 1961
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
AR(1)
1.771274
MA(1)
5.252577
R-squared
Mean dependent var
Adjusted R-squared
S.D. dependent var
S.E. of regression
Akaike info criterion
-3.890344
Sum squared resid
Schwarz criterion
-3.798735
Log likelihood
64.24550
Durbin-Watson stat
2.071971
Inverted AR Roots
.34
Inverted MA Roots
-.75
Penentuan model terbaik BerdsBeBBerdasarkan kriteria yang telah disebutkan pada bagian teori maka model ARMA terbaik adalah model ARMA (0,1) atau model MA(1). Peramalan dengan menggunakan model terbaik Dengan menggunakan MA (1) kita akan melakukan peramalan. Dari model MA (1) klik forecast.
Bila mengasumsikan model sudah benar, maka langkah selanjutnya adalah memperpanjang range data. Pada menu utama Eviews click procs-change workfile range-ubah end date menjadi 1994. Ubah juga sampel data, procs-sample-ubah end date menjadi 1994-ok. Kemudian kembali pada model MA (1), click procs-make model-solve-ok. Akan terbentuk variabel forecast y_growthf.
Tampak bahwa muncul estimasi untuk growth tahun 1995, yaitu . Gunakan uji Correlogram Q-statistics.
